Begay sa narodil v Tuba City v Arizone 11. januára 1954. Vyrastal v rezervácii Navajo, kde sa od svojich rodičov a starých rodičov naučil o tradičnej kultúre Navajov. Begay začal kresliť a maľovať v mladom veku a čoskoro si uvedomil, že má talent na umenie.
Po ukončení strednej školy Begay študoval umenie na Inštitúte umenia amerických indiánov v Santa Fe v Novom Mexiku. Potom navštevoval Arizonskú univerzitu, kde získal titul bakalára výtvarných umení.
Begayove maľby zobrazujú rôzne predmety vrátane navažských obradov, rituálov a každodenného života. Jeho tvorba je charakteristická svojimi žiarivými farbami, zložitými vzormi a silným zmyslom pre spiritualitu. Begayove obrazy boli chválené pre ich krásu, kultúrny význam a schopnosť zachytiť podstatu života Navajov.
Begayove práce boli vystavené v múzeách a galériách po celom svete, vrátane Smithsonian Institution, Heard Museum a Museum of Modern Art. Získal tiež množstvo ocenení, vrátane National Endowment for the Arts Fellowship, Arizona Governor's Arts Award a Native American Art Awards.
Begayova práca naďalej inšpiruje a vzdeláva divákov o kultúre Navajo. Je považovaný za jedného z najvýznamnejších indiánskych umelcov svojej generácie.
Begay zomrela na rakovinu 17. augusta 2012 v Tuba City v Arizone. Mal 58 rokov.